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第九步，（2n）！/（n！n！）是（1+1）2n展開式中最大的一項，而該展開式共有2n項（我們將首末兩項1合併為2），因此（2n）！/（n！n！）≥22n/2n=4n/2n。兩端取對數並進一步化簡可得：√2n ln4<3 ln（2n）。

至此，可說明，Bertrand假設成立。

程諾沒有多大把握能一天的時間搞定。

哦，對了，還有一件事。

這樣的話，雖然拐了個彎，看似比切比雪夫的方法還要麻煩不少。但在真正的結果出來之前，誰也不敢百分百就這樣說。

程諾又足夠的時間去浪……哦，不，是去完善他的畢業論文。

明天程諾的工作，就是從這十幾個推論中，尋找出對Bertrand假設證明工作有用的推論。

SCI期刊之一，位列一區。

……

翌日，又是陽光明媚，春暖花開的一天。

第三步，由推論5知p<2n，由反證法假設知p≤n，再由推論3知p≤2n/3，因此（2n）！/（n！n！）=Πp≤2n/3 ps（p）。

思路暢通，程諾和-圖-書一路寫下來，不見任何阻力，一個小時左右便完成一半多的證明步驟。

唰唰唰~~

第二步，將（2n）！/（n！n！）的分解（2n）！/（n！n！）=Πps（p）（s（p）為質因子p的冪次。

切爾雪夫已然證明這一假設的成立，使用反證法，無非是將證明步驟進行簡化。

而且完工的時間，比程諾預想的要早了整整一半時間。

但程諾現在當時不是要尋找反例，證明Bertrand假設不成立。

這可不是個輕鬆的工作。

一夜無話。

原來我現在，不知不覺間已經這麼厲害了啊！！！

低著頭，他列下一行行算式。

既然將兩個引理強加進Bertrand假設的證明過程中這個方向行不通，那程諾想的是，能否根據這兩個引理，得出幾個推論，然後再應用到Bertrand假設中。

肝吧，少年！

日期是三月初，方教授給程諾的一個月假期還剩十多天的時間。

第七步，利用推論8可得：（2n）！/（n！n！）≤Πp≤√2n ps（p）·Π√2n<p≤2和-圖-書n/3 p≤Πp≤√2n ps（p）·Πp≤2n/3 p！

至於答辯的腹稿，程諾並沒有準備這個東西。

論文的草稿部分，算是正式完工。

在網上搜索一陣，程諾將論文轉換為英文的PDF格式，打包投給了位於德古國的一家學術期刊：《數學通訊符號》。

由此，得推論2：【設n≥3為一自然數，p為一素數，s為能整除（2n）！/（n！n！）的p的最高冪次，則：（a）ps≤2n；（b）若p>√2n，則s≤1；（c）若2n/3<p≤n，則s=0。】

這個時候，程諾不得不再次準備開啟修仙大法。

所以，這天白天的課一結束，程諾便匆匆趕到圖書館，隨便挑了一個沒人的位置，拿出紙筆，驗證自己的想法。

由上，得推論1：【設n為一自然數，p為一素數，則能整除（2n）！/（n！n！）的p的最高冪次為：s=Σi≥1［floor（2n/pi）-2floor（n/pi）］。】

他有不是上帝，並不能很明確的知曉通過引理得出來的推論究竟哪個有和-圖-書用，哪個沒用。最穩妥的方法，就是一一嘗試。

除了上課，程諾一整天都泡在圖書館里。

這樣的話，還能趁熱的將畢業論文的文檔版給搞出來。

影響因子5.21，即便在一區的諸多著名學術雜誌中，都屬於中等偏上的水平。

程諾右手碳素筆，左手腎寶，開始攻克最後一道難關。

等到晚上十點閉館的時候，程諾才背著書包依依不捨的離開。

程諾叉腰得意一會兒。

這是除了直接推導證明法之外最常用的證明方法，面對許多猜想時非常重要。

要是以哥的水平，連一個畢業答辯都過不了，那還不如直接找塊豆腐撞死算了。

工具早已備好，他沉吟了一陣，開始在草稿紙上做各種嘗試。

連程諾本人，都驚訝了好一陣。

而修仙神器，「腎寶」，程諾也早已準備完畢。

結束了這忙碌的一天，第二天，程諾便馬不停蹄的開始正式Bertrand假設的證明。

另一邊，華國。

而在他手中拿著的草稿紙上，已經密密麻麻的列著十幾個推論。

【因為n≥3及2n/3<p≤n表明p2>2n，求和只有im.hetubook.com.com=1一項，即：s=floor（2n/p）-2floor（n/p）。由於2n/3<p≤n還表明1≤n/p<3/2，因此s=floor（2n/p）-2floor（n/p）=2-2=0。】

第一步，用反證法，假設命題不成立，即存在某個n≥2，在n與2n之間沒有素數。

……

搞！搞！搞！

關於兩個引理的運用，程諾有他自己獨到的見解。

啪啪啪~~

由於冪函數√2n隨n的增長速度遠快于對數函數ln（2n），因此上式對於足夠大的n顯然不可能成立。

一行行，一列列。

反正時間足夠，程諾並不著急。

隨後，便是低頭繼續苦逼的列著證明公式。

第八步，由於乘積中的第一組的被乘因子數目為√2n以內的素數數目，即不多於√2n/2-1（因偶數及1不是素數）……由此得到：（2n）！/（n！n！）<（2n）√2n/2-1·42n/3。

這是他勞動一天的成果。

程諾覺得還是應該嘗試一下。

程諾又隨手做了一份PPT，畢業答辯時會用到。

程諾ｈttｐs://ｗww.ｈeｔuｂoｏk.cｏm.coｍ當然不能這麼做。

下面，就是最後一步。

可一句古話說的好，一鼓作氣，再而衰，三而竭。如今勢頭正足，最好一天拿下。

切爾雪夫在證明Bertrand假設時，採取的方案是直接進行已知定理進行硬性推導，絲毫沒有任何技巧性可言。

經過一夜的思考，困惑程諾終於對自己的畢業論文有了新的思路。

反正到時候兵來將擋，水來土掩就是。

程諾手指敲擊著鍵盤，四個多小時后，畢業論文正式完稿。

【設m為滿足pm≤2n的最大自然數，則顯然對於i>m，floor（2n/pi）-2floor（n/pi）=0-0=0，求和止於i=m，共計m項。由於floor（2x）-2floor（x）≤1，因此這m項中的每一項不是0就是1……】

程諾一拍腦袋，彷彿記起了什麼。

程諾自信滿滿。

尤其是……在證明某個猜想不成立時！

對於Bertrand假設，他準備使用反證法。

論文的進度按照程諾規劃的方案進行，這一天，他從推導出的十幾個推論中尋找出證明Bertrand假設有重要作用的五個推論。