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由此看來，西方的無理數（irrational nunbers）（即西方的記數法中，十進位的不盡小數）的概念，在希臘精神中，根本認為是不可思議的。歐幾里得，是我們應該多加瞭解的古典數學家，他說：「不同度量單位的線條，是『不能如數字那樣，彼此相連繫的』」。事實上，一旦發展出無理數的概念，便把數字和「大小數量」的觀念，截然分開了。因為，有些數字，例如圓周率π，是不能以任何直線來定出長度，而準確表出的。尤有甚者，據此乃形成希臘人一種恐懼感。例如，當考慮一正方形的邊和對角線的關係時，希臘人被迫突然面對另一種全然不同的數字（無理數），而這數字在基本上，對古典靈魂而言，是陌生疏離的。所以，希臘人從自己生存的深處，恐懼這一事實，把它當作一種一旦揭開，便會致禍的秘密。有一項簡單而重要的後期希臘神話，根據這神話，第一個揭開無理數之秘的人，結果沉船沒頂，慘死非命，「因為那不可言傳，無形無態的秘密，必須永遠隱匿於人世。」古典人有一種深沉的形而上的恐懼，——恐懼他那在生存深處，牢守不移的宇宙秩序，那個在感覺上可瞭解、可接近的宇宙秩序，會突然崩解，而墜入未知的原始深淵。我們若瞭解了此一恐懼，便也就瞭解了古典數字的終極意義——即是，數字是一種「度量」，而不是任何不可度量的東西。於是，我們便也能把握到，古典數字的界限，實具有高度的倫理意義。

有機的世界，即是歷史世界；機械的世界，即是自然世界（這些字眼，在此處的用法，有不尋常的意義）。根據純粹自然圖像而來的機械論（mechanism），例如牛頓的世界、或康德的世界，乃是須經過認知，而後歸納為一體系的。而由純粹歷史圖像而來的有機觀（organism），例如普拉提尼斯（Plotinus）、但丁、布魯諾（Giordano Bruno）等的世界，則必須是經由直覺的洞照、和內心的經歷而來的。

我們常常被教以：古典文化中的代數學，乃是經由西元二五〇年左右的戴歐芬塔斯（Diophantus）的成就，而第一次脫離了感覺的限制，閱始有了廣度和深度。但事實上，戴歐芬塔斯並不曾真的創造了代數學，而只是把代數學帶入我們所知的古典數學架構中而已——他的成就是如此的突然，我們不得不假定，他所表出的概念，根本是早已存在的。而他的成就，並不曾豐富了古典的世界感受，而無寧是壓服了那個世界感受。因為古典的數字，是「大小」的表徵，而代數學，則是一種「變數」的學問。戴歐芬塔斯也許並不自覺，但他在本質上，乃是反對那個他所欲建立的古典基礎的。從他身上，我們可以看出在歐幾里得式的意向（intention）表面下，滋生了一種全新的「極限感受」（limit-feeling），我把這感受，定名為「馬日的」（Magian）世界感。戴歐芬塔斯不但不曾擴大「數字是一種大小數量」的概念，反而消除了此一概念。而沒有一個希臘人，能夠想像那種不定數ａ，或無名數３之類的數字——因為它們既非大小，也無長度。在戴歐芬塔斯的作品中，數字不再是固定事物的度量和本質。當然，他尚不知有零和負數，可是他也不再用畢達哥拉斯派的數字。他所表達的數字的「代數不定性」，也與後來西方數學中的「控制變化」（controlled variability），即函數變化，有相當的不同。

正對應於古典靈魂中，由畢達哥拉斯發明了它自己獨具的阿波羅式數字——那種可以度量大小數量的數字的時候，西方的靈魂，也經由笛卡兒及其同時代的人（巴斯卡，費瑪，岱沙格等），而發明出一種不同的數字表記。而這數字表記，正是狂熱嚮往無窮空間的浮士德傾向之產物。由古典文化注重事物的實質存在，而生成的代表純粹大小（pure magnitude）的數字，也正可與如今代表純粹關係（pure relation）的數字，互相平行，而形成對照。而如果我們可以把古典「世界」，古典的「宇宙秩序」視為是植基於：對可見的限制所具的深刻需要，而由實質事物的總和所組成；則我們也可以說：我們西方的世界圖像，乃是無窮空間的展現，在無窮空間中，一切可見的事物，只成了低層次的事實，而臣服在無窮的面前。西方文化的表徵，乃是「函數觀念」（idea of functiln），這是任何其他文化，所從未夢想到的觀念。函數絕不是前此已有的數字概念的擴張，而根本是完全脫離了前此已有的數學概念。於是，不但是歐幾里得的幾何，而且連阿基米德的代數，對西歐那真正重要的數學觀念而言，都不再有任何的價值。自此而後，數學已只在於抽象的分析。即使像乘冪數（power），最初只表示一組相同數值的連乘積，如今經由指數與對數（Iogarithm）的概念，以及它在複數、負數、和分數形式中的應用，也已經根本消失了其原有的「數量大小」的意義，而轉移至超越的關係世界中去了。此種超越的關係世界，全非希臘人所能想像，因為他們只知道兩種正整數的乘冪，分別代表面積和體積，所以，他們接近不到此等的世界。

如我們所見的，在古典世界中，每一行動的起點，都是那個「已經生成的事物」的秩序，因為它是明確的、可見的、可度量的、可計數的。而相反的，我們西方的、哥德式的形式感受，則是一個毫無拘束的、強烈意志的、無遠弗屆的靈魂，所具有的感受。它所選取的表徵，是純粹的、不可感覺的、無窮的「空間」。我們這無窮空間的宇宙，其存在，對我們而言，是不待贅言的，可是，對古典人們而言，卻根本便不存在。事實上，我們的物理學中的無窮空間，是在無形中假定了非常繁多，且極端複雜的存在體。而它的存在，只是我們的靈魂所能接受的，因之，也只有對我們這一型的覺醒生命而言，才是真實的、必然的、自然的。簡單的說明，永遠是最困難的，從笛卡兒以來，我們整個的西方數學，都在於對這個偉大而神聖的表徵——無窮的空間，作理論上的解釋闡明。而在古典的數學和物理學中，對「無窮的空間」一詞，則根本全無所知。

對於深刻的思想家而言，笛卡兒幾何中，便有一種要超越三度的經驗空間（experiential space）的傾向，而把這種經驗空間，視作是強置於數字的表徵之上的，不必要的限制。雖然，直到約一八〇〇年，多度空間才為解析法鋪設了寬廣的基礎，可是，真正的第一步，要比這早得多了。乘冪（事實上，是對數）原來與感覺上可以認知的面積與體積，有密切的關係，當乘冪脫離了原來的限制，經由無理指數與複數指數的應用，而進入「函數」的領域時，它便成為純粹的一般關係值，而這，便是進入多度空間的第一步。任何一個稍微瞭解一點數學推理的人，都會承認：正當我們不再把ａ的３次方，作為ａ的ｎ次方的自然最大值之時，那個三度空間的概念，便被取消了。

數字是死亡的象徵，固定的形式是生命之否逆，公式與定律在活生生的自然上，撒播了死板板的謹嚴性，所以，數字造成死亡。「浮士德」第二部的「母親」（Mother）一節中，歌德如此寫道：

當理智的形式語言，已鑄成了一些牢固的銅瓶，把神秘的事物捕獲進來，並加以瞭解之後，世界恐懼便靜靜止息了。這是所有偉大的文化所共有的方法，也是文化靈魂所知道的唯一實理現自己的途徑，即：把廣延加以象徵化（symbolizing）、把空間及事物，皆加以象徵化。我們發現，在下列各項事實中，基本的方法，都是一樣的：牛頓物理學中、哥德式教堂中、摩爾人的回教堂中，所瀰漫的絕對空間的概念；藍布朗（Rembrandt）的繪畫、與貝多芬四重奏中陰暗的音響世界，所具有的空間無窮之感；以及在歐幾里得的規則多面體、巴特農萬神廟（Parthenon）的雕刻；古埃及的金字塔；佛教的涅槃觀念；西索特斯（Sesostris）、查士丁尼一世（Justinian I）與路易十四（Louis XIV）治下宮廷習俗中的孤離統治（aloofness）；以及艾士奇勒斯、普拉提尼斯、但丁心目中的「上帝」概念；以及現代技術中那遍及世界的「空間能量」（spatial energy），所代表的，都是將廣延加以象徵化，以展現文化特性的現象。

然而，我們此處所謂的數學，其意義是指：一切藉形象而思考的能力，不可與狹義的科學性數學（scientic mathematics）相混淆，即是，不可與純粹數學著作與論文中，那種數字的理論相混淆。一個文化，其所具有的數學景觀和思想，若以其寫錄下來的數學來作代表，每不恰當，正如一個文化的哲學景觀和思想，每被其哲學論文所誤表一樣。數學從一個原始的泉源中，迸躍而出，而此泉源尚有很多其他的出口。哥德式的教堂和多力克的神廟，便是以石頭表現的數學（mathematics in Stone）。無疑的，畢達哥拉斯（Pythagoras）是古典文化中，第一個以科學方法，把數字作為一切「可理解的事物的世界秩序」之統馭原則的人——他把數字視為基準，也視為比較大小的數量。但是，在他之前，我們已可以在希臘雕像的嚴格規格和多力克柱廊的排列中，發現到一種高貴的物體陳列順序，充分表現了希臘數學的精神。偉大輝煌的藝術品，每一個都可以用數字為基礎，而獲得解釋。例如，我們不妨考慮一下油畫中的空間展示，便知道藝術品是如何地表達了數學的真髓。若某一文化，具有一種高度的數學天賦，則即使沒有任何數學的科學，它的天賦也可以在技術的領域內，達到成熟而完美的「自我發揮」。在埃及，古王國的金字塔之多向空間，及其建築的技術、水道的系統、公共行政的組合，（更不必提那精複的年曆推算了），所展示的那種強力的數學感，我們一旦能體認到的話，就不再有人會仍以為，新王朝那種毫無價值的「代數學」（Algebra），能代表埃及的數學水準了。

事實上，正由於引進了本質上反希臘觀念的無理數，那個把數字當作具體而確定的事物的觀念，便崩解了。自那時以後，數字的系列已不再是遞增的、片斷的、固定的實體，而成了一種單進向的連續體（unidimensional continuum），按照數學家岱迪肯（Dedekind）的理論，此連續體的每一「切割」（cut），便代表了一個數字。這樣的數字，已很難與古典的數字調和一致了。因為古典的數學，在１與３之間，只知道有一個數字（即２），而對西方數學而言，則１與３之間的數字，乃是一無限的集合。當我們更進一步引進了虛數，及最後又引進了複數（其一般形式為a bi）以後，線性的連續體，更擴大成為高度超越的「數體」形式，即：一個同類元素的集合體。此體中的每一「切割」，如今已代表一個「數面」（number-surface），此「數面」包有一個由「低勢」（Iow potency）數字所組成的無限集合。例如，對複數而言，實數即為「低勢」數字，於是，這已根本完全沒有古典通俗意義的數字的影子了。這些「數面」，自歌西（Chauchy）與高斯（Gauss）母加以應用後，在「函數論」中已成為重要的角色，而它們乃是純粹的思想圖像（pure thought-figures）。古典的心靈，勉強尚能體會到正無理數，例如開根號2而把它當作否定的樣式，事實上，他們已以足夠的概念，將之驅除於意識之外。可是，像類如x yi形式的東西，則已完全超過了古典思想的理解力之外，而我們西方，正是由於把數學定律，擴展到整個的複數體系中，而使這些定律仍能適用，才能奠立了「函數論」，而最後把西方數學，發展到它目前的純粹性和統一性。直到達至了這個地步，我們的數學，才能無保留地用來支持與之平行的領域——西方的動態物理學（dynamic physics）；而古典的數學，則正適用於它自己注重單獨物象的實體世界，以及從魯西柏斯（Leucippus）到阿基米德，所發展成的「靜力學」（static mechanics）。

古典的數學家，只能瞭解他所看到、所把握到的事物，他整個的思考領域，便在於明確的，有定義的「可見性」（visibility），當這種可見性止息時，他的科學便走到了終點。而西方的數學家，一旦擺脫了古典的成見的束縛，便進入了一個全然抽象的領域，進入了無限多「維」（manifolds）的ｎ度空間，而不再只是三度空間。在此ｎ度空間的抽象領域內，他所謂的幾何，能夠不需借助任何普通的助力，也必須不借助此等普通的助力，才能獲得它自己的發展。

古典數學中，最有價值的地方，即在於它的這一命題（Proposition）：「數字是一切可以感覺到的事物之本質。」這一命題，是把數字定義為一種「度量」（measure），恰恰含有古典靈魂中，那種熱情地關注「現世」（the 「here」）和「此刻」（the 「now」）的世界感受。在這一意義下的度量，意指對某些接近而具體的事物之度量，全無任何玄遠幻變的意味。我們試考慮一下古典藝術作品的內涵，例如：那些自由矗立的裸體人像，是代表古典人的存在感的精華和要件。而這些雕像的韻律，完全是由其各部分的表面（surface）、量度（dimension）、及可由感官覺識到的相對關係（relations），而表現出來。畢達哥拉斯學派最注重數字的和諧性，此一觀念，雖然其本身可能是由音樂中演繹得出的，可是，卻似乎已成為古典雕刻的規範，因為後者亦注重和諧——注意，古典的音樂，既不知「對位法」，也不嫻「和聲學」。其所有的樂器，俱是表現單純的、豐潤的、近乎清新的音調。至於雕刻藝術，則雕刻過的石頭，其本身只不過是一塊考慮過大小、量度過形態的石塊而已，它到底「是」（is）什麼，完全要看它在雕刻師的鑿刻下，「成為」（has become）什麼而定。如果沒有雕刻師的鑿刻，它只是一團「矇昧混沌」（chaos），是尚未實現成形的事物，事實上，在未經雕鑿之初，它根本不具任何意義。與此相同的感受，轉移至較高層次的創作過程中，古典人乃拓展了一種「宇宙秩序」（cosmos）的概念，以與「矇昧混沌」的狀態相對立。對於古典靈魂而言，所謂「宇宙秩序」，意味著外在世界的一種清晰合理的狀態，一種和諧均勻的次序，它包含了各個分殊的事物，而每一分殊的事物，皆為一完美、切近、易於瞭解的整體。這些分殊事物的總和，便恰恰構成了整個世界。各分殊事物之間的空白區間，在我們西方人而言，充滿了所謂「空間世界」（the Universe of Space）這一印象性的表徵。可是，對古典人而言，空間世界根本就無關緊要。從這一個基本觀點反觀過去，也許我們能夠真正瞭解到，一個最深奧的古典形上學概念——即亞諾芝曼德（Anaximander）所謂的「元始」（α'πϲρυ）。這個字很難用西方的語言，來加以翻譯。它不具有畢達哥拉斯意義的「數字」，沒有可度量的基準，也沒有確定的界限，什麼都沒有；恰如尚未自碎石中雕刻出來的雕像，沒有大小，沒有形式；無法用肉眼來窺度其涯際、蠡測其形狀，只有透過感覺作用的分割，才能成為被人接受的事物，才能成為現象的世界。這是古典文化的認知作用中，基本的「先驗」（a priori）形式。康德在他的世界圖像中，正是以「空間」的概念來取代了此一先驗的概念，根據了這個，康德堅持：一切事物，都可以「思考解決」的。整個古典數學，歸根究柢，乃是一種「測體學」（stereometry），即「實體幾何學」。歐幾里得，在西元前三世紀，即完成了他的幾何系統，對他而言，三角形是一物體最必要的表面，而絕不是如我們西方人所以為的，是三條相交直線的集合系統，或是三度空間中一組點的集合系統而已。歐幾里得把直線定義為：「沒有寬度的長度」（length without breadth），在我們看來，這一定義是可憐可笑的，可是——在古典數學中，這一定義卻是輝煌卓絕的，因為它正適合於古典數學的精神。

這種馬日的數字，我們雖然不知其細節，但已可覘見其大要：它經由戴歐芬塔斯（很明顯的，他並非起點），大膽而合乎邏輯地，於第九世紀的回教世界中阿貝息德時期（Abbassid period），進展至巔峰狀態，我們可以從阿卡瓦雷（Al-Khwarizmi）與阿西玆契（Alsidzshi）等的作品中，欣賞到此馬日的數學。

但是，這種源自內在生命，而由上天所賜的希祈之情，在每一文化靈魂的本質中，其實也即是一種畏懼（dread）之情，所有「生成變化」的過程，都向「已經生成」的方向進行著，那裏是它的終點。故而，生成變化的基本感情——希祈，便也觸及了人類對「已經生成」的事物，所具的基本感情——畏懼。在目前，我們便可感覺到時光在不斷流逝，而過去的時間，便意味著那逝去的過程。這便是我們那永遠畏懼的根源，我們畏懼一去不回的、已經達到的、已經終極的事物——我們畏懼死亡，畏懼世界本身，因為它是「已經生成」了的事物，而在這「已經生成」的範圍內，死亡是不可避免的事。我們也畏懼可能的潛力已經發揮、生命的內在已經完成、而我們的意識亦已到達其目標的那種時刻，這種人類在童稚時代，即已具有的深刻的世界恐懼，從未離開過高級人類、教徒、詩人、藝術家等，它使人在隱約可見的陌生力量之前，感到無比的孤獨無依，而這種陌生的力量，透過感覺現象的帷幕，一開始便在威脅著他。至於「導向」，它是所有「生成變化的過程」本身所固有的，由於它的嚴格殘酷的不可逆性（irreversibility），也使人感到它是一種陌生疏離而又充滿敵意的東西。於是，人類那想要求得瞭解的意志（will-to-understanding），便不斷尋求，要想把不可思議的事物，賦以一定的名稱，要想把未來轉形為過去，這事是超乎我們的理解力的。而時間，便與空間相反，它永遠有一種奇異的、困惑人的、壓抑似的曖昧性，沒有一個嚴肅的人，能無視於此等曖昧性。

〔古典的畢達哥拉斯學派，所用的圖像符號，很具有說明性：１這個數字，是一切數系的基本要素，而此字的另一意義是女性的子宮。２是第一個真實的數字，是１的兩倍，則與男性的性器有關。最後，３是一個神聖的數字，是上兩個數字的結合體，代表了繁殖的行動——所以，古典人所僅知的兩種增加數量的方法：加法和乘法，都有著色情意味的暗示。〕

七、歷史的世界圖像，也可稱為高級的「世界意識」（higher world-consciousness）。為了要獲致此一世界圖像，我們必須學習文化的「語言」，並藉以區別可能的文化與實際的文化。可能的文化，即是「文化民族」的生存之中，所具有的一種概念（無論其為共有的，抑或個人的，即，無論其為「共命慧」、抑或「自證慧」）。而實際的文化，便是該一概念的具體展現，是其所有的實際可見的表現之總和，例如：藝術與科學。高級的歷史，與生命本身、與生成變化的過程，息息相關、密不可分。所以，它就是可能的文化之實際展現的過程。

在此處，我們從希臘文學中，所承襲而來的古典的名詞——那些仍舊在使用中的古典的名詞，也掩沒了事實的真相。所謂「幾何」，是指度量的藝術，而「算術」，是指計數的藝術。而西方的數學，早已與這些東西沒有任何關係了。但是我們尚未能為我們數學中各部門，找到新的名詞——僅用「分析」一詞，絕對是不夠妥當的。

我們從上面經觀察到，像孩子一樣，原始的人類，慢慢獲得了對數字的瞭解（這是其自我生成的內在經驗），及由此而具有了外在世界的觀念。一旦此等原始矇昧而驚訝的眼睛，感覺到了有秩序、有廣延的黎明世界之後，便開始作重大的掙扎翻騰，要從單純的印象世界中，掙脫出來，而要把外在世界與他自我的、內在的世界分離，便不可避免地使他的覺醒生命，有了「形式」、有了「導向」；又因為突然意識到自己的孤獨無依，便自靈魂中產生了一種基本感情——希祈（Longing）。有了希祈的感情，乃促使「生成變化的過程」向其目標進行，推動了每一內在的可能潛力的完成與實現，也展開了個體生存的概念。正是由於這童稚的希祈之情，在意識之中愈來愈清晰明確，成為一個有固定導向的感受，於是，最後在成熟的精神之前，便出現了所謂「時間之謎」（enigma of Time）——奇異的、誘人的、不可解釋的時間之謎。突然地，「過去」與「未來」這兩個詞眼，具有了其重大的意義。

非歐幾何中，有一個簡單的公設：廣延是無界的（boundless）。〔注意：自黎曼與曲度空間（curved space）的理ｍ•ｈetubｏｏk.cｏm•cｏｍ論之後，「無界的」一詞，已與「無盡的」（endless）有別〕。這一簡單的公設，便已抵觸了歐氏幾何的基本特徵，因後者全靠直接的感覺為主，也就是全靠物理界的光阻（light-resistances）的存在，故而，歐氏幾何認定廣延是有實質的邊界。但是，非歐幾何這一種抽象的邊界原理（boundary principle），可以想像成是：以一種全新的感覺，超越了視覺上的限制。

一旦空間的元素——點，不再殘留其可見性的痕跡，而且不再是一種坐標線上的「切割」（cut），而被定義為三個獨立數字（Ｘ、Ｙ、Ｚ）所構成的組群時，則我們已不再有任何理由，來反對把３代之以更普遍的形式——ｎ。於是，空間度量的意義，整個改變了。我們不再把點的特性，固著在可見的坐標系統中的「位置」（position）上，而是用我們任選的坐標「進向」（dimensions），來表出數字組群的完全抽象的性質。包含ｎ個獨立有序元素的數字組群（number-groups），即成了「點」的意象（image），因之，此數字組群，便也就可「稱為」（called）是一點；相同的，由此而得的方程式，若表出了平面的意象，便也就稱為是一平面；而所有的ｎ進向的點之集合，係也自然可稱為是一ｎ度坐間。這種超越式的空間世界，已脫離了任何種類的感覺形式。在這種超越的空間世界內，便有我上述的所謂「關係」（relations），這便是我們所要分析的對象，而我們也發現，這些關係，與實驗物理學所得的數據（data），常相符合一致。像這種高度的空間世界，終究是西方心靈的特性表徵，只有西方的心靈，才嘗試用這些形式，來捕取「已經生成」及「已經展延」的事物，也只有西方的心靈，才嘗試用這種方式，來聯繫、負荷，並「認知」陌生疏離的事物，而且獲得成功。這種數字思想的領域，不是任何人可以達到的，只有極少人能探得真諦。在尚未達到此等數字思想的境界時，很多想像的數學系統，例如「超複數」（hypercomplex number）系統、向量微積分中的「四元法」（quatenions），以及那些看來毫無意義可言的符號，例如無窮大∞，便都不能有甚麼實際的特徵。只有達到了此等數字思想的境界，這些東西才有其實際性。而我們必須瞭解：所謂「實際性」，並不僅指感覺上的實際性。於是，到了此時，西方的精神，在實現其自己的理想時，便絕不侷限於感覺形式中了。

到了這一數學的頂峰之後，作為浮士德靈魂的觀念之投影和表達，西方的數學，已經發揮盡了它每一內在可能的潛力，而完成了它的命運。於是，便終止了它的發展，一如古典文化的數學，在西元前三世紀，終止了發展一樣。我們要知道，唯一在今天，我們仍能對其有機結構，作歷史的檢驗的學問，便是數學。古典數學和西方數學，兩者皆是經由一種全新的數字觀念，而告誕生，在希臘，是畢達哥拉斯的數字，在西方，是笛卡兒的數字。兩者皆在一百年之後，展盡了所有美麗的姿采，而達到成熟的階段。兩者皆在盛行了三世紀之後，於各自的文化轉入為大都會文明的時刻，完成了它們的觀念結構。這種文化上的「互依性」（interdependence），有其深刻的重要意義，經由適當的過程，自可解釋清楚。而此刻，對我們而言，偉大的數學家們的時代，已經一去不復返了。我們如今的工作，只是諸如保存、潤飾、修正、選擇之類的事——而不再是偉大的動態的創造。這和後期希臘文明時代，亞歷山大城的數學，所表現的「大慧滅裂，巧智環生」的情形，是一樣的。

故而，數學是一種藝術。當我們處理某種偉大的藝術的發展時，我們必須也要注意一下同時代的數學，這是有百利而無一弊的。儘管西方音樂理論的變遷，和數學上對「無窮」（infinite）所作的分析，兩者的關係良深，其詳細情形迄今無人曾予研究。事實上，從美學來研究此一關係，所獲必定會遠多於從所謂的「心理學」來研究的結果。如果現有的樂器演變史，不是根據音調配製的技術觀點來寫，而是根據音色和音效的深層精神基礎來寫的，則可以看得更為明顯透徹。因為在西方音樂史上，是一種「意願」——強烈到近乎渴望的意願，要想用聲音來填滿無窮的空間的意願，促使西方人，早在哥德式的時期，便產生了兩種偉大的鍵盤樂器（風琴和鋼琴），也產生了弓弦樂器——這些是完全不同於古典音樂的七弦琴和豎笛，以及阿拉伯的琵琶的樂器。風琴和翼琴（clavichord），當然是英國的產物，而弓弦樂器，則在一四八〇至一五三〇年間，於北義大利達成了其固定的形式。但是，主要還是在德國，風琴發展成一種控制空間、變化萬端的偉大樂器，而風行一世。類似風琴這樣的樂器，在音樂史上，確還是未之前見的。而巴哈及他那個時代的自由飛幻的風琴演奏，其真正的精神，無非是一種空間的分析——分析那奇妙而巨大的音響世界。這正與當時的數學精神脗合無間。

恰恰相對於古典文化的愛奧尼亞時期（Ionian period），巴洛克數學的輝煌時期，乃是在十八世紀，從牛頓及萊布尼玆的決定性發明以後，經過尤拉（Euler）、拉格雷基（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace）與德蘭伯特（D'Alembert），一直發展到高斯。一旦此一巨大的創造活動，生了翅膀，它的高飛遠舉，實在是有如奇蹟一般。人們很難相信自己的眼睛，在那個瀰漫了懷疑精神的時代，目擊了似乎根本不可能的真理，一個接一個的出現。德蘭伯特發明了微分係數後，還必須說道：「再往前進，你才有信心。」邏輯本身，似乎已招致反對，而它的基礎，似乎也證明是謬誤的了。可是，最終的目標已經達到，這一世紀正是抽象與非物質的思考之狂歡慶祝的世紀，在這一世紀內，數學分析的大家，以及與他們精神一致的大作曲家，巴哈、格魯克（Gluck）、海頓（Haydn）與莫札特，這些罕見而深刻的心智，都為他們精妙的發明與思想，而歡欣鼓舞，不可一世，而歌德與康德，則踽踽獨行。從內涵看來，這一世紀正平行於希臘的愛奧尼克（Ionic）的成熟世紀，即數學上的尤多克薩與阿基塔斯的世紀（西元前四四〇～三五〇），我們也可以把雕刻上的菲狄亞斯、柏里克利特斯（Polycletus）、愛肯曼尼斯（Alcamenes）等大師的表現，與雅典衛城（Acropolis）的建築成就。一併算在此世紀內——在這一世紀內，古典的數學和雕刻的形式世界，已展盡了它所有可能的潛力，因此，這一形式世界，隨即終結了。

大約在西元前五四〇年，希臘的畢達哥拉斯學派，已經發展出這樣一種概念，即：數字是一切事物的本質。當這一概念出現時，已不僅是所謂「數學發展上的一大進步」，而是代表了一種全新的數學的誕生。這一新的數學的誕生，很久以來，即已由種種哲學問題的態勢、和藝術形式的趨向預示出來。而現在，這一新的數學，由古典靈魂的深處迸躍而出，發展了它的定理公式。這一新的數學，在一個偉大的歷史時刻，忽然誕生了——正如同埃及的數學、與巴比倫文化中的代數天文學及其黃道坐標系統（Ecliptic Co-ordinate System）的誕生情形一樣。但這種數學，畢竟是新的數學，因為埃及與巴比倫的數學，在其時早已神魂俱逝；而埃及的數學，甚至根本從未書寫下來過。

由於有這種古典數字和西方數字之間的基本對立，故而，元素與元素的關係，在兩個不同的數字世界中，便也就有了極端的差異。在古典數學中，數字是一種大小數量，而數量（magnitudes）之間的聯繫因子，是「比例」（proportion），在西方數學中，所注重的是關係，而關係（relations）之間的聯繫因子，則包含在「函數」（function）之中；「比例」與「函數」這兩個名詞，其重要性並不只限於數學中，它們在這兩個文化的相關的藝術——雕刻與音樂中，也具有高度的重要性。除了在單獨雕像中，各部分的秩序條理上，比例占了很基本的地位之外，典型的古典藝術形式，如雕像、浮雕、壁畫，都可以有其擴大與縮小的基準比率——而這些，在音樂中，便毫無意義。相反的，在函數的領域內，則具有決定的重要性的，則是組群的轉換（transformation ofgroups），而音樂家也會承認，組群的轉換觀念，在現代的作曲理論中，有其基本的地位。我只需指出十八世紀中，最偉大輝煌的管弦樂形式之一，「幻變組曲」（Tema con Variazioni），便足可證明這一點了。

古典的數學，自始至終，都是在考慮單獨的個體，及此等個體的「邊界表面」（boundary-surface），所具的種種特性；所以間接地也便考慮到物體的二次曲線和高次曲線。另一方面，我們的數學，歸根結柢，只考慮「點」（point）這個抽象的空間元素。點，既不能看到，也不能度量，也不能定義，它只代表一個參考系的中心而已。直線，對希臘人而言，是一種可以度量的邊長，而在我們看來，乃是一種點的無限連續體。萊布尼玆曾把直線當作「圓」的一種極限情形，而把點當作「圓」的另一種極限情形，前者圓的半徑為無窮大，後者圓的半徑為無限小，以此來闡明他的「極限原理」。但對希臘人而言，圓只是一個平面（plane），而他所感興趣的，是如何使它成為可以度量的樣子。故而，如何把圓變成正方形（squaring of the circle），便成了古典知識中，最最重要的問題。古典的世界形式中，最深奧的問題，是如何把由曲線圍成的表面，不改變其大小，轉變成矩形，從而能使它成為可以度量。另一方面，對我們而言，這個問題並不特殊重要，我們通常可以用代數意義來表出π這個數字，而不考慮其幾何形象。

於是、不可避免地，古典文化漸漸成為一個注重「小」（small）的文化。阿波羅式的靈魂，試圖用「可見的極限」（visible limits）這一原則，來拘束已經生成的事物之意義，它的禁制，便是要把世界侷限在立刻可見，最最接近的範圍內。因此之故，一切玄遠的、不可見的事物，在它而言，都是「不存在的」。我們須常常注意到語言現象中，所具的強力象徵意義，正因為希臘語言中，沒有關於空間的詞眼，所以希臘人完全缺乏我們對風景、水平、展望、距離、雲彩等所具的感受，也完全缺乏一個大國家，所需的廣袤遠被的鄉土觀念。古典的神廟，是所有第一流的建築中，形式最小的，一眼便可以看盡內涵。古典的幾何，從阿基塔斯到歐幾里得（今日學校中所授的幾何，便是這種古典幾何），只處理小的、可度量的形像與物體。所以古典幾何始終不知道，在奠立天文測量的圖像時，會產生何種困難，因為在很多情形中，天文測量的圖像，往往不適用歐幾里得幾何。如果不是古典文化太侷限於微小而切近的事物，則精妙無儔的阿提克精神（Attic Spirit），幾乎確定地會完成一些非歐幾何上的問題。因為它曾對有名的「平行公設」（parallel axiom）提出批判，這種對平行公設所具的懷疑，雖然馬上引起了反對的意見，可是並沒有獲得合理的闡明，這便使它非常接近於非歐幾何的決定性發明了。古典的心靈，無疑是投射於、並侷限於對微小而切近的事物的研究上；而我們的心靈，則是注重在對無窮的、且超越感覺的事物的研究上。西方文化自己所具的、或從別的文化借來的，所有的數學概念，遠在真正的微積分發明以前，便已全部自動傾向於「極限」（Infinitesimal）觀念上去了。於是，阿拉伯的代數、印度的三角、古典的力學，當然便在西方數學中合併起來，而成為「分析的」數學了。在某些情形下，幾何可以加以代數的處理，而代數也可以用幾何來處理，這便是：我們可以不用視覺來研究數學，也可以讓視覺來統理數學。我們西方人，是採取前一種態度，而古典希臘人，則採取後者。阿基米德，在他對螺線所作的美妙處理上，已經觸及到了萊布尼玆的定積分的方法中，某些普通的概念。可是，這些螺線的研究，雖然表面上與現代數學有相同之處，仍是侷限於古典的「實體原則」（stereometric principles）之中；同樣的情形，印度人自然可以根據他們的世界感受，而發明某些三角上的公式。。https://m.hetubook.com.com

古典數學自始至終，便表現為一種「結構」（construction），廣義而言，這也包括初等算術在內。所謂「結構」，便是描製出一個單純而可見的圖像。而西方數學，則自始至終，便表現為一種「運算」（operation）。結構注重在外表，而運算否定了外表，前者描畫出視覺上所獲致的事物，而後者則解消了這些事物。於是，我們便遇到了兩種數學之間，另一種的對立：古典數學，由於注重小的事物，便只處理具體的單獨個例，而製成堅定的結構；而西方數學，由於注重無窮的觀念，便處理各種可能的情形，發展出各組的函數、運算、方程式、曲線，它的處理，並不著眼於結果，而只著眼於過程。所以，最近兩世紀來，雖然數學家們很少承認這個事實，而我們實在已發展出一種：數學運算的「一般形態學概念」（idea of general morphology），而我們該把這概念，當作是整個現代數學的真正意義之所在。我們將會越來越清晰地察識到：所有這些表現，都是西方心智的一般傾向，所透露出來的徵驗之一。它是浮士德式的精神，所獨有的表現，在別的文化中，是不會有的。在我們數學中，下面是在西方數學史上，占有偌大地位的一些大問題，而我們把這些問題視作是「我們的」問題，正如希臘人把「如何將圓化成正方形」，視作是他們數學上至高的問題一般：——例如，研究無窮級數的收斂問題（歌西），把楕圓與代數積分，變形為多項週期函數的問題（亞培爾，高斯）——對於那些追求簡單而確定的數量結果的古典人而言，這些問題，可能只是一種深奧晦澀的妙技之展示而已，而實際上，今日一般世俗的人，也都作如此的看法。事實是，這些問題，才是西方數學中，真正具有代表性的問題。

在發展中，我們西方的數學，被迫到達一個情況：——即不但人為的幾何形式之極限，而且視覺的極限本身，都對我們的理論，以及我們的靈魂，構成了一種限制，成為我們內在可能的潛力，在作無保留的表現時的極大障礙。——換句話說，我們那超越展延的理想，與實際感覺的極限之間，發生了基本的衝突。這便是西方數學，與古典數學間的基本衝突。我們可以看出，數學上「絕對的」空間（「absolute」space），自始就是極端非古典（un-Classical）的觀念，雖然，數學家由於對希臘傳統的尊敬，不敢面對這個事實。但「絕對的」空間，畢究是與日常經驗及傳統繪畫中，那種不確定的空間不同，也與康德的「先驗的」空間不同。康德的空間，看來是一種明晰而確實的概念，但同時也是一種純粹抽象的空間。西方靈魂中，這種純粹抽象的、理想而未完成的意願，越來越不願再囿限在可感覺的表達方式中了，終於，它狂熱地把限於感覺的方式，擯棄一旁。西方的內在之眼覺醒了。

數字只是屬於「廣延」的領域。但是，正如世上有很多種可能的——也是必然的——文化，世上也有同樣多種有次序地展現廣延的方式。古典的數字，只是其中一種展現的方式，它不處理空間的關係，只處理有限而具體的單位。於是，當然，而且必然的，古典數學只知有所謂「自然數」（正整數）。而相反的，在我們西方的數學中，自然數在複數、超複數、非阿基米德數系（non-Archimedean number system），以及其他數系中，卻只占一個並不重要的地位。

在開始討論之前，我們最好先注意一些基本的詞語，因為在本書中，這些詞語的用法，可能在感受上，有些與眾不同。當然，在討論進行的過程中，它們的意義，也自會漸趨明朗。

希臘薩摩斯島的阿里斯塔克斯（Aristarchus），在西元前二八八至二七七年間，是隸屬於亞歷山大城的天文學家圈子中的。該天文學圈子，無疑與加爾底亞——波斯學派有關。他曾描繪出一個以太陽為中心的世界系統經過哥白尼的再發現，以太陽為中心的系統，曾從根搖撼了西方人的形上感情——例如，布魯諾即是有名的例證——而完成了一些強而有力的徵兆，證明了浮士德、哥德式的世界感受，是對無窮表現狂熱的嚮往。事實上，浮士德式的世界感受，對無窮具有無比的信仰，已早就經由其教堂的形式，而透露了出來。但是，阿里斯塔克斯當時的希臘世界，對於他的作品，根本漠不關心，在很短的時間裏，便被世人遺忘了——當然，這是我們可想而知的。事實上，阿里斯塔克斯系統，在精神上根本不近於古典文化，甚至可能對古典文化造成危險。但是，有一點經常被人遺漏的事項，即：阿里斯塔克斯系統，與哥白尼的系統，仍有不同的地方，而此不同的地方，乃恰恰使它能符合於古典的世界感受。此即它假設：宇宙是包含在「有限的」物質中的，而在視覺上看來，應為一中空的圓球，在這圓球之中，才有如同哥白尼所示那樣的行星系統，不斷運行著。在古典的天文學中，地球和其他星體，經常是被當作兩種不同的整體，無論他們如何說明其運行細節，他們還是認為地球與其他星球，根本不同。——而與此相反的概念：地球只是星空中的一個星體而已，則在托勒密系統與哥白尼系統中，都是視為當然的。由於認為宇宙是一個天空中的球體，所以，那本來可能危及古典文化那種有限的，感覺的心靈的「無窮原則」（principle of infinite），便被覆蓋住了。也許有人會以為：無窮的概念，無疑是由阿里斯塔克斯系統中導衍出來的，可是事實上遠在他的時代之前，巴比倫的思想家已經獲得了此等概念，而希臘卻全無此等思想的出現。相反的，在阿基米德有名的關於沙粒的論文中，他證明把一立體的物體（這事實上，便是阿基米得所認為的宇宙）裝滿沙粒，會得到非常高（high）的圖像結果，但卻絕不是無窮高。他的此一命題，也許曾一再被引用為積分學（Integral Calculus）的初步概念，事實上，其本身原是對我們所謂的「分析」（analysis）的一種否定。尤多克薩、阿波羅尼斯（Apollonius）、阿基米德，無疑是古典數學家中最敏銳、最大膽的幾位，他們主要用直尺和圓規，對「已經生成」的事物，作純粹視覺的（purely optical）分析，而其基礎，即是古典的雕刻式的思想。在他們所用的方法中，我們必須特別提到阿基米德的「逼盡法」（exhaustion-method）。在最近發現的阿基米德致依羅陀深斯的信函中，他論及用內接矩形，以求拋物面的截面積的方法，而不用相似多邊形的方法。但是，此等極端精密而複雜的方法，仍是根據柏拉圖的某些幾何概念而來的。雖然表面上，與我們西方的巴斯卡的方法，有可類比之處，我們仍可看出，他與巴斯卡畢竟有絕大的不同。與黎曼（Riemann）的積分法相比之下，阿基米德的方法與今日所謂的「求面積法」之間，更是有尖銳的觀念上的對立。如今，阿基米德的方法，其本身不過是一不幸的殘存者，它所謂的「表面」（surface），如今已被代之以「封閉函數」（bounding function），而它所用的描畫法，如今早已不用。古典與西方的數學心靈，從未像在此例中，互相如此接近過；而也從未像此例那麼明顯地，可看出兩個不同的靈魂之間，隔閡是如此之深，根本不可能彼此溝通。

於是，第一次，有深刻思想的人們，不得不承認：那個在所有時代中，皆認為真實的、且為唯一的歐幾里得幾何，若從高一層次的觀點來看，不過是一「假設」（hypothesjs）而已。從高斯以降，我們已經瞭解了：要在別的完全非感覺型的幾何之前，證明這一「假設」的普遍正確性，是不可能的。歐氏幾何中的重要命題——歐幾里得「平行公設」，乃是一種未經證明的「假定」（assertion），對於平行問題，我們自還可用其他的假定，來取代「平行公設」。事實上，我們也可以假定，通過一所予點，沒有平行線、或有兩條平行線、或有很多絛平行線，可以平行於一已予直線，而所有這些假設，都可以發展成三維空間的，完全無懈可擊的幾何，這些幾何，也都可以用到物理學，乃至天文學上去。而在某些情形下，更優於歐氏幾何。

我們試考慮一下，下面兩種方程式之間的差別（如果方程式一詞，可以用來表示這兩個不同的事物的話）：3n 4n＝5n及xn yn＝zn。後一方程式，即有名的「費瑪不定方程式」。前一方程式，包含的是一些古典的數字，即：作為「大小數量」的數字；但是，後一方程式所表示的，卻是一個數字（one number）的不同種類，只是由於根據了歐幾里得——阿基米德的傳統，寫成與前一式相同的形式，此一差別乃被掩蓋住了。在前一式中，等號表示諸確定而實在的「大小數量」之間的關聯；而在後一式中，等號的意義是：在一個變數的領域內，存有一種關係，此即：若有某一變化發生，則必然隨之以另一確定的變化。第一個方程式的目的是，定出一具體的「大小數量」之量度，故第一式有其「結果」；而第二式，一般而言，並無「結果」可言，而只是在n>2時的一種「關係」的代表圖像與符號而已（xn yn＝zn,n>2,此便是有名的費瑪問題），而此ｎ可能並非整數。一位希臘的數學家，必然會覺得，他不可能瞭解到此等運算的意義何在，因為它的意義，並不在於「解出」此方程式。

五、生命是一形式，世上各種不同的可能潛力，便發揮實ｗwｗ•ｈｅｔuｂoｏｋ•ｃｏm.ｃｏm現於此一形式中。而靈魂，是感受的貯藏所。它代表了有待實現的，各種可能的潛力；至於世界，則是實際的，是已完成的，是已經實現了的生命。

正因為所有生成變化的過程，都具有「導向」這一原始的特性；所有已經生成的事物，便也具有另一特性：「廣延」（extension）。但「導向」與「廣延」二詞，似乎並不只具有人為的差別。事實上，所有「已經生成的事物」，其真正的秘密，即在於：它們即是已經「展延」了的事物；無論其為空間的展延，或是質性的展延，其真正的秘密，皆可用「數學的數字」來具體表現，而不能以「編年的數字」來加以測度。數學的數字，其本質之中，即蘊含有「機械的區劃」（mechanical demarcation）這一意義。以此觀點來看，數字實與「文字」（word）有相同的性質，因為，文字正是以其包容（comprising）與指謂（denotiug）的性質，來迴避一切的世界印象。事實上，數字和文字兩者，其最深奧的境界，根本是不可意會，不可言傳的。但是，數學家所處理的實際數字，包括了圖形、公式、符號、圖表，簡言之，數學家所思考、傳達、或寫下的數字符記（number-sign），都如運用得正確的文字一樣，自始便正是這些境界的象徵，是一種想像的事物，對於內在的心靈及外在的眼睛而言，只有把它當作區劃（demarcation）的代表，來予以接受，才能獲得理解，也才能彼此溝通。數字的起源，與神話的起源也正類似。藉由文字及數字的幫助，人類才有能力來瞭解世界。於是，人類的心智，適切的應用了數學的數字，把數字用來度量、計算、畫圖、秤重、排列、分割，以努力把事物加以「界定」（delimit），也即是，以證明、推論、理論和系統的形式，來牢範一切的事物；而也只有經由此等行為，覺醒的人類，才能應用數字來描繪事象與特性、關係與偏異、單相與多相等——簡單說來，即描繪他所認為的，必要而不可移易的世界圖像，此即稱為「自然」，稱為「認知」。「自然」是可以用數字來數出的，可是，相反的，歷史則是一切與數學無關的事物之集合體。自然既是可數的——故而有自然律的數學準確性，有加利略那令人吃驚的名言：「自然是用數學的語言寫出來的。」（Nature is written in mathematical laugnage）而康德更強調：精確的自然科學，所能到達的限度，即是數學所能允許到達的限度。

今天，數學所用的「符號語言」（sign-language），誤表了它真正的內涵。這主要是由於一般人、甚至數學家，仍然以為數字是一種大小的數量，試看：我們所有的數學表記，是否仍以此作為基始？但是，事實上，表示函數的，並非個別的符號，如Ｘ，π，５等，而是以函數本身為單位，為元素。變數的關係，不再能作視覺上的界定，它已構成了一種新的數字；而這種新數字，必須建立一套新的表記方法，而完全不受古典數字的影響。

所有的「比例」，都假定元素有其不變性，而所有的「函數」，都發揮了元素的變化性。例如，歐幾里得的對稱定理（congruence theorems），其證明便在於它先假定了１：１的比率；而現代數學，卻是用角度函數的方法，才演繹出相同的定理。

數學，及與數學同宗的重大藝術創造，兩者的形式語言之間，關係之深，是無可置疑的。思想家與藝術家之間，其氣質的差異固然很大，但他的覺醒意識，所展出的表達形式，其內在精神，實也如出一轍。雕刻家、繪畫家、作曲家，對「形式」的感覺，本質上都是數學的。展現在十七世紀的解析幾何和投影幾何，其實是一個無窮世界的精神秩序。這種對無窮世界的嚮往之情，也使同時代的音樂，生趣盎然、活力瀰漫，因此它發展出「和聲學」的技術，用和聲（harmony）充實了其時代的音樂。和聲學，便可以視作是音響世界的「幾何學」。同樣，這種對無窮世界的嚮往之情，也促使同時代的繪畫，發展出「透視法」的原則，這是只有西方文化才有的。透視法，也可以視作是空間世界的「幾何學」。歌德曾說過一句哲理深奧的話：「數學家，只有在他從自身之中，感到真實之美時，他才算成熟。」由此，我們當可感到，數字的奧妙，與藝術創作的奧妙，其關係是何等緊密啊！

笛卡兒的解析幾何，出現於一六三七年。他最具決定性的成就，並不是如我們所以為的，只是在於他於傳統幾何的領域內，介紹了新的方法和概念，而是在於他介紹了一種明確的新數字觀念。這種新的數字觀念，把幾何於視覺上可認知的結構、與可量度的線條的範限下，整個解放了出來。有了笛卡兒的幾何，分析無窮空間，乃成為事實。古典那種有限的世界感的特徵——那些可以感覺到的元素，諸如具體的線條和平面等，被代之以抽象的、空間的、非古典的元素——「點」（point）。從此時開始，「點」乃被視為一組純粹的坐標數字，由古典的教本和阿拉伯的傳統，所導衍來的那種數量大小及感覺度量的概念，已被摧毀殆盡。代之而起的，是空間中點與點之間的變數關係值。一般而言，我們不認為這是幾何的替代品，在古典傳統的正面之後，這只能是一種想像的事物。「幾何」這個詞眼，有其相當確定的阿波羅式的意義。而從笛卡兒時代起，所謂的「新幾何」，則由綜合和分析兩部分所構成，綜合的工作，是對空間中「點」的相對位置而作，而空間已不復限於三度空間；至於分析的部分，則把數字根據空間中點的「位置」（position），而予以定義。如此，把長度代之以位置之後，便帶有一種純粹空間的概念，而不再是一種實質的概念了。對傳統幾何的摧毀，最明晰的例子，我以為是把角度函數（angular functions）轉化成為週期函數（periodic functions），因而進入了無窮的數字界域。在此數字界域內，角度函數便變成了級數（series），而根本不復留有歐幾里得圖像的絲毫跡象了。在此數字界域的各部分中，圓周率π，如同納皮爾數基ｅ（Napierian base）一樣，與各種數學都發|生|關|系，而不復有舊的所謂幾何、三角及代數間的分劃。這些新的數學關係，本質上既非算術的，也非幾何的，所以，在新的數學領域內，已沒有人再夢想要實際上畫出圓弧、或展示出指數圖形了。

於是，到了最後，西方數字思想的全部內涵，都集中到浮士德數學中的那個深具歷史意義的「極限問題」上了。極限問題，是通向「無窮」（infinite）之途的關鍵所在，而浮士德式的無窮感，與阿拉伯及印度的世界觀之中，所具的無窮感，是大不相同的。在各個不同的情況中，無論數字的外貌表現為如何：為無窮級數也好、為曲線也好、為函數也好，其真正的本質，皆為極限的理論（theory of limit）所統攝。這一極限，與古典的求圓面積法中，所標示出來的極限問題，絕對是相反的。直到十八世紀，流行的歐幾里得幾何的先入之見，仍然混淆著當時的微分原理的真正意義。在當時，「無限小量」（infinitely small quantities）的觀念，已經是唾手可得了，可是，無論數學家如何熟練地運算，「無限小量」仍有著古典常數的痕跡，仍有著數量大小的外貌，這都是歐幾里得幾何的「殘基」（residues）。例如，「零」是一個常數，是在線性連續體中，介於 １與-１之間的整數。而尤拉及他以後的很多人，所作的分析研究中，「零」正是一大難題，因為他須要處理「零」的微分。到了十九世紀，古典的數字感所留下的遺跡，才終於被排除出去，於是，經由歌西對於極限觀念的闡釋，才邏輯地獲致了極限微積分（Infinitesimal Calculus）的成就。只有當「無限小量」的概念，轉成了「任何可能的數量之最低限」（lower limit of every possibl magnitude）的觀念時，才產生了變數的概念，而解決了西方的極限問題。此種變數，已不再具有任何「數量大小」的特性，於是，最終由理論所表出的「極限」，已不再是對某一數值的趨近，而是，它本身便是趨近、便是過程、便是運算。所以，極限不是一種「狀態」（state），而是一種「關係」（relation）。

從這種對象徵的空間世界，所作的偉大宏遠的直覺感悟（intuition）出發，便產生了西方數學中，最終的、最具涵蓋性的創造活動——把「西數論」擴大、精煉，而成為「群論」（groups）。所謂「群」，是指同一類數學意象的集合，例如，某一類型的所有微分方程式之集合，便是一「群」。「群」的結構與秩序，相似於岱迪肯的「數體」（number-bodies）。在此，我們所感受到的，是一個全新的數字世界，對於真正的數學行家而言，「群」的問題，倒不在於要極端的超越感覺，而是在於：在這些龐大的抽象形式系統中，要找出一些特定的元素，能在一群特定的運算中，保持不變，也就是說，要具有「不變性」（invariance）。用數學的語言來說，這問題通常是表為數學家克萊恩（Klein）的表述方式，即：——給予一ｎ度空間及一群「轉換」（transformations），要求出該空間中，在該群「轉換」之下，不受改變的諸形式來。

為了要舉例示明：在外在世界的圖像之中，靈魂如何地尋求實現自己的途徑——也就是說，在「已經完成」狀態的文化，如何表現或描繪出其生存的基本概念——我選擇了「數字」（number）來作表徵。數字，是一切數學的基本元素。我選擇數字作為示例之用，是因為：雖然只有很少的人，能理解到數學的全部深度，可是，數學在人類心靈的創造活動中，畢竟具有非常特出的地位。數學是一種最精確、最嚴密的科學，就如同邏輯一樣，可是它比邏輯更易為人所接受，也更為完整。數學是一種真正的藝術，足可與雕刻及音樂並駕齊驅，因為它需要靈感的誘導，而且，是在偉大的形式傳統之下，發展出來的；最終說來，數學，是最高境界的形上思考，就如同柏拉圖，尤其是萊布尼茲所表現的一樣。迄今為止，每一種哲學，皆伴隨有一種屬於此哲學的數學，而共同發展。數字，是因果必然性的象徵。正如同「上帝」這一概念一樣，數字這一概念，在自然世界中，也蘊涵有其終極的意義。因此，數字的存在，便也可以認為是一種奧秘，而在每一個文化的宗教思想之中，便已可感覺到這一奧秘的印象。

數字的世界，所顯示的，是靈魂的風格。故而數字的世界，除了科學之外，尚包括某些其他的事物。

一、歌德區分了兩個觀念，其一，是「生成變化的過程」（Becoming），另一，則是「已經生成的事物」（Become）。我們可以用這一區分，來替代傳統習慣中，所區分的「存有」（Being）與「生成」（Becoming）之別。在我們的意識之中，以及由意識而衍生的結果之中，「生成變化的過程」，永遠是較基本的元件，而「已經生成的事物」，則是次要的元件。

六、有兩種途徑，以供我們認識知識的整體。知識的整體，包括了生成變化的過程，和已經生成的事物，包括了生命，也包括了生活。而這兩種途徑的不同，便在於：其一所遵循的，是生成變化的本身，是實現潛力的過程；另一所觀照的，則為已經完成的事物，是已經實現的世界——也就是說，前者是以「導向」來洞視事象，後者以「廣延」（extension）來涵蓋事象。而事實上，任何事象，都不能只歸因於上述二者的其中任一。這不是一個「二選一」的選擇問題，而是就各種可能的情形，作一系列不斷變化遞嬗的問題，這個問題的兩個極端，便分別呈現為純粹有機的世界觀，和純粹機械的世界觀。

四、生命永遠不斷的在充實自己、完成自己，所以我們每稱之為「此時此刻」（the present）的生命，它恰如生成變化中的事物，具有一個神秘弔詭（paradoxical）的特性——「導向」（direction）。而我們人類，則企圖以一個謎樣的字眼——時間（Time），來瞭解「導向」的意義。

準上所言，有一項具有決定性重要意義的事實，迄今連數學家自身都尚蒙在鼓裏。如果數學也像天文學或礦物學一般，僅僅是一種狹義的科學而已，則我們應該可以界定它的目標。可是，事實是，世上沒有數學本身，而ｍ.heｔｕbｏok.cｏm•cｏm僅有不同的諸個數學（There is no mathematic, but only mathematics）。目前我們所謂的「數學史」，其意僅是指單一的、不變的數學概念，不斷發展實現的過程。而事實上，在「數學史」的虛飾的表面底下，是一大堆自給自足的，彼此獨立的發展之複合體。每一個重複的過程，都是這樣的：新的「形式世界」（form-world）誕生，它佔用、改變、並剝除了與它陌生疏離的舊形式。這便是一部純粹的有機歷史：茁生、開花、成熟、枯萎、死亡，如是而已。讀者必定不可被幻象所騙，古典文化的數學，幾乎是從一片空無之中，萌芽而生的；可是，我們這深具歷史意識的西方靈魂，則是已襲有了古典的科學（當然不是內在靈魂地服膺，而僅是經由學習，而外在地佔用而已），然後很明顯地將之予以改變和完成，乃獲致了西方自身的數學。事實上，它根本已摧毀了那個本質上與它陌生疏離的古典數學——歐幾里得系統，它並不是古典數學的嫡系後裔。在古典數學中，代表人是畢達哥拉斯，在西方數學中，則是笛卡兒。在這兩系數學裏，歸根究柢，所表現的行為，其實是一致的，而其基本的概念，則當然是南轅北轍。

職是之故，古典靈魂認為無理數的發現，將會推翻整個數字體系的莊嚴序列，推翻完整而自足的世界秩序，其本身是一種對「神」的不敬。在柏拉圖的「提摩亞斯篇」（Timaeus）中，這種感覺非常明顯。把一系列具體實在的數字，轉化為一種數字連續體，不惟對古典的數字觀念是一種挑戰，而且根本是對古典的世界觀的一種挑戰。因此，我們可以理解到，在概念上應毫無問題的「負數」（negative number），何以在古典數學中，不可能存在，更不必提「零」（zero）這個數字了。沒有零的觀念，便限制了高度抽象能力的創造。而印度靈魂，則是把零當作數字的基始的；零的觀念，正是瞭解印度人生存意義的關鍵。古典世界的覺醒意識之每一生物，皆經由雕刻式的定義，而提昇到實際的層次，故若不能畫出來的，便不能算是「數字」。希臘的阿基塔斯（Archytas）與尤多克薩（Eudoxus），用所謂「面積數」（surface-number）與「體積數」（volume-number）這兩個名詞，來指謂我們所稱的二次方與三次方。所以，很容易看出來，更高的次方，在他們思想中是根本不存在的。因為，對那執著於固定感受的心靈而言，四次方立刻便意味著已擴展到四度空間，這在他們是不可思議的，是「荒謬的」。至於那些我們常用的表記，或者即使是分數次方，這些早從十四世紀的數學家歐瑞斯蒙（Oresme）起，便應用於西方數學中的東西，對他們而言，更是毫無意義的鬼畫符。歐幾里得認為兩條線之間，整個的數字關係，不外是邊長的乘積或相除的分數（當然是定分數）而已。很明顯的，由於這樣，「零」這個數字的概念，便不可能出現，因為在他的觀點裡，零是無意義的。而我們西方，所具有的心靈的構造與古典人根本不同，不可以根據我們的習慣，來批判他們，而把他們的數學，當作只是「數學」發展中的「初步雛形」。在古典人為自己所拓展的世界裏，為了他們自己的目標，而發展成的古典數學，其本身是完整自足的（self-contained）——只是，對我們西方人而言，當然不是。

把幾何從可見的範疇內解脫出來，把代數從數量的觀念中解脫出來，然後把兩者結合起來，超越了所有描繪與計算的基本限制，而形成「函數論」的偉大結構——這是西方的數字思想之輝煌過程。古典數學中的常數，已經解離為變數，幾何變成分析性的，而解消了所有具體的形式。可以獲致確定的幾何數值的數學個體，被代之以抽象的空間關係，而這種空間關係，到最後，根本不能應用到感覺現象中去。至於歐幾里得的視覺圖像，也被坐標系中的幾何軌跡所取代，只要任選一點作為「原點」，而在運算過程中，不改原坐標系，便可以表出幾何的結果出來。而坐標本身，可以視為純粹而簡單的數值，不是用數決定空間中點的位置，而是用來表現與替代點的位置。於是，作為「已經生成的事物」的邊限（boundary），數字已不再是用圖像來表現，而是用方程式來象徵了。這就是：「幾何」已改變了它的意義，原來作為圖像的坐標系，消失不見了，而「點」已變成了純粹抽象的「數字組群」（number-group）。

在對永恆的奧秘，作如此的預測時，歌德與柏拉圖非常相近。他的這一段相當難以理解的詩文，事實上乃是柏拉圖的觀念——一個「精神」有各種可能的潛力，而此等未誕生的形式，要掙扎形成有活動、有目標的文化，要形成由此精神，所規範、所決定的藝術、思想、政治與宗教。所以，一個文化的數字思想與世界意識，乃是相關聯的，而由此關聯，前者被提昇到超越一般的知識和經驗，而變成了一種宇宙觀。因此之故，世上有多少種高級文化，便就有多少種數學、多少種數字世界。只有如此，我們才能瞭解到一項必然的事實，即：那些最偉大的數學思想家，那些數字領域中創造性的藝術家，每每經由一種深沉的宗教直覺，才能作出他們諸文化中，最具有決定性的數學發明。古典的「阿波羅式」的數字，我們必須當作是畢達哥拉斯的創作——而他即曾奠定了一個宗教。在西方，那位偉大的布列克森的主教（西元一四五〇年），尼古拉，庫色納斯（Nicolaus Cusanus）。也是經由一種直覺的引導，才從自然中「神」的無窮觀念，而發明了微積分的「極限」概念（Infinitesimal Calculus）。萊布尼茲在兩個世紀以後，完全奠定了微積分的方法和符號，而他本身，也是由於對「神」的原理，及其與無窮的關係，作純粹形而上的沉思，才體會、並發展出「位置分析」（analysis situs）的概念——這可能是對純淨而無垠的空間，所作的解釋之中，最為神奇靈妙的一種。刻卜勒與牛頓，也都具有嚴肅的宗教氣質，他們與柏拉圖一樣，都深信正是經由數字作為媒介，他們才能直覺地瞭解到，「神」的世界秩序之本質。

數字，是完全嚴謹的理解的意象，是純粹思想的意象，數字本身之中，便具有抽象的確實性。然而，數學能否確實應用於意識經驗的實際中去，其本身便是一個問題，一個永遠不斷的重提，但從未解決的問題——而數學系統與經驗觀察的符合一致，在目前而言，只能視為「自明之理」（self-evident），而不能加以證明。雖然一般人的觀念——例如叔本華——認為數學是植基於直接的感覺證驗之上的，可是，我們不妨以歐幾里得幾何來示例一下。歐氏幾何，雖然表面上與各時代通用的幾何皆能符合無間，卻只能「大約」與現象世界相一致，只能在非常狹隘的限制下相一致——事實上，只能限制在畫板上。例如，擴展這些限制，則歐幾里得平行線，將會如何？根據非歐幾何，平行線將於地平線處相交——我們西方的透視法藝術，便根據此一簡單的事實而起。但是，歐幾里得是一位在古典時代的思想家，他完全是與古典精神相脗合的，故而，他不會去考慮一個：由一位觀察者、及兩個無窮遠處固定的恒星，所構成的三角形，以證明他的幾何公理，是否合於現象真理；因為，這些是既不能畫出來，又不能「直覺地領悟出來」的事象。他的感受，正是典型的古典文化的感受，不敢面對無理數，也不敢給予空無一物的「零」這個數字以任何意義，而甚至在凝思宇宙關係時，也無視於「無窮」（infinite）這個概念，而只能硜硜自囿於古典數學的基本表徵——「比例」（propotion）觀念之中。

從文藝復興以來，每一項接踵而至的重要創見，諸如——虛數與複數，於一五五〇年卡德納斯（Cardanus）介紹出來；無窮級數，經由一六六六年牛頓在「二項式定理」上的重大發現，而奠立了理論的基礎；微分幾何及定積分，是萊布尼茲的成就；以「集合」（aggregate）作為一種新的數字單元，由笛卡兒開其先河；以及一些新的運算程式，像正積分的方法，以及把一種函數，展開成其他函數的級數，甚至無窮級數的方法，這些，都是浮士德式的數學，壓過了流行的感覺型數字感受的一種勝利，這也是新數學在實踐新的世界感受中，所必須贏得的勝利。

在所有的歷史上，從來沒有第二個文化，像我們的文化那樣，在科學方面，對古典文化付與如此長期而顯著的敬仰和謙遜。經過了非常長久的年代，我們才有勇氣去思考我們自己獨具的思想。但是，雖然我們經常只是意圖和古典文化相媲美而已，可是我們所作的每一步努力，實際上，都使我們遠離了原來想像的理想。因此，西方的知識進展史，只是一部逐漸脫離古典思想的歷史，這種脫離，絕非出自本意，而是在潛意識的深處不知不覺地被驅迫著而然。所以，新數學的發展，事實上是由一個克服數字的「大小數量」觀念，而作的冗長、秘密、而最終獲得勝利的戰爭，所構成的。

在原始曖昩的人類靈魂中，正如同最初的嬰孩時代一樣，有一種原始的感受，驅使它要尋找各種方法，來處理廣延世界中的各種陌生力量，這些陌生的力量，嚴酷而堅定，布滿了整個空間。而人類的這種防衛行動中，最精妙、最有力的形式，便是那因果的定律與系統的知識，把陌生的一切，用符記和數字來加以軌範。

三、靈魂與世界的對立抗衡（opposition），在人類的意識之中，是若合符節的。意識有各種不同的等級，從糢糊矇昧的知覺，一直變衍到純粹理性的清晰，當然，糢糊矇昧的意識，有時也會充盈著內在的慧光，而純粹理性的尖銳與犀利，則可以康德的思想為代表。在康德而言，靈魂與世界的對立，已成了「主體」和「客體」的區別，但是，這種基始的意識結構，是經不起更深一層的分析的。因為，靈魂與世界這兩個觀念因素，永遠是同時呈現，而表現為一個統一的整體。

世界恐懼，無疑是所有原始感受中，最具創造力的一種。人類因為有了最成熟與最深厚的形式與意象，不但人類內在的意識生命，而且反映此生命的變化無窮的外在文化，也都是由於有了世界恐懼，才能具有此等形式與意象。世界恐懼，就像一種神秘的旋律，不是每一個人的耳朵都能覺察到的，它貫穿了每一項真正的藝術創作的形式語言，貫穿了每一種內在的哲學，每一項重要的行動。而且，雖然在數學的領域內，很少人能覺察到它，可是它畢竟是數學中，偉大問題的真正根柢。只有那些精神上業已死亡的、文化秋天時城市中的人們，例如漢摩拉比時代的巴比倫、托勒密時代的亞歷山大城、回教時代的巴格達、今日的巴黎與柏林的人們；只有那純粹理智的人、詭辯家、感覺主義者、達爾文主義者，才失去了世界恐懼、或能夠經由在他自己與陌生世界之間，建設一毫無秘密可言的「科學的世界觀」（scientic world-view），而逃避了世界恐懼。希祈是與某些不可捉摸的事物有關的，這事物的千百種變幻莫測的證驗（manifestations），全包含在「時間」一詞之中。而另一種基本感受——畏懼，則表現在理智的、可瞭解的、可描繪的「廣延」表徵之中。因此，我們發現，每一種文化，各有其自己的方法，來覺知出時間與空間、導向與廣延之間的對立，而時間先於空間，導向先於廣延，正如生成變化的過程，要先於已經生成的事一樣。希祈先於畏懼，最後變成了畏懼，這一過程不容反逆。前者並不屈服於理智，而後者是理智的奴隸，前者純重經驗，而後者純重知識。用基督教的語言，這兩種世界感受之間的對立，可以表述為：「畏神與愛神」（Fear God and love Him）。

二、兩個不同的詞眼：其一，是「各自獨具的」（Proper），另一，是「陌生疏離的」（Alien），代表了意識中兩個基始的事實。我們所稱為「陌生疏離的」事物：永遠只與我們的「知覺」（Perception）有關，也就是說，它所觸及的，只是外在的世界，感覺的生命。而我們稱為「各自獨具的」事物，則與我們基本的感受有關，也就是說，它所牽涉的，是內在的生命。